Por Julio Cesar da Silva, editor do blog Esclarecimento Filosófico

Recentemente uma questão de lógica acerca de Pinóquio e seus chapéus gerou muitas dúvidas (imagem a seguir) e até mesmo uma polêmica.

Eu escrevi uma resposta para a questão (a resolução está no item VI do texto a seguir) e recebi alguns comentários interessantes, principalmente no campo filosófico. Questões epistêmicas, de formalismo e até mesmo acerca dos compromissos ontológicos.

Aqui as críticas ou observações que recebi, apresentadas de modo sumarizado:

1. A problemática dos quantificadores em especial as assunções existenciais da lógica clássica.

2. Assumir que validade é propriedade de sentenças (um erro), sendo que o correto é se as sentenças são verdadeiras.

3. Um sujeito que mente o faz acerca do que ele acredita. Alguém pode mentir e está falando a verdade. 

4. Se ele mente então ele pode não ter chapéu

5. Ao formalizar a expressão no Cálculo De Predicados de Primeira Ordem (CQC) haveria a possibilidade de quantificar o que não existe

6. Há outros tratamentos para o problema, pois há outros tratamentos para a inferência lógica (pluralismo lógico)

Apesar das observações acima, a maioria concordou com a minha resolução desde que, delimitada pelas já apresentadas objeções.

Neste sentido, eu acredito que há um ganho em responder a tais questionamentos. Isso não significa que tais observações sejam ofensas a minha pessoa ou que seja necessário defender um monismo lógico. 

O meu ponto é simples. As seis observações apresentadas alguns parágrafos atrás não são pertinentes para uma interpretação coerente da questão e, também, para sua resolução.

Daqui em diante, tento argumentar contra cada uma delas. Bem sucedido ou não, será uma oportunidade de aprofundar meu conhecimento e, talvez, dos leitores. A ordem escolhida foi a que melhor responde todas as objeções e não a ordem em que as objeções aparecem.

I) Validade do argumento

Apesar da primeira observação ser acerca dos problemas do uso dos quantificadores na lógica clássica. Didaticamente começar pela validade cria uma boa sustentação para o restante do texto.

A questão começa com “Admita que sejam válidas ambas as seguintes sentenças:” e termina com “Podemos concluir dessas sentenças que:”. Aqui temos uma pista importante. Quando sentenças válidas permitem inferir, alcançar, concluir outra sentença o texto está nos pedindo para avaliar a validade de um argumento.

Como muito bem observou minha esposa Lívia, é importante o “admita” no início da questão. Ele surge como um “suponha tal e tal situação”. Muito mais do que sugerir um recorte da realidade, o exercício é muito mais próximo de um experimento mental ou, de um exercício de física onde pede para desprezar o atrito.

Seguindo o que nos diz Susan Haack em Filosofia das Lógicas(Unesp, 2002, p.37) os tipos de avaliação possíveis para argumentos são:

i. Lógica: há uma conexão do tipo apropriado entre as premissas e a conclusão?

ii. Material: as premissas e a conclusão são verdadeiras?

iii. Retórica: o argumento é persuasivo, atraente, interessante para audiência?

Devemos descartar o ii e iii pois não se trata de uma avaliação da veracidade das frases (o que nos levaria por vários caminhos, como o do esquema T de Tarski) e não é uma questão que se preocupa com o estado mental de quem tenta interpretar a questão.

Então nos resta o arcabouço da lógica, cuja evolução desde Aristóteles a Frege é campo de estudo atualmente das ciências formais e da filosofia. 

No campo da lógica o próximo passo, ainda seguindo de perto Haack, é que a avaliação na lógica pode ser dedutiva (onde a há uma conexão forte entre as premissas e a conclusão de tal maneira que se as premissas são verdadeiras a conclusão que delas segue também deve ser) ou indutivamente (quando tentamos alcançar uma certa generalização a partir de informações acerca do que é particular.)

Há algumas propostas que consideram uma terceira opção, isto é, a tentativa de alcançar a melhor explicação por meio de padrões abdutivos.

Não há como julgarmos o argumento como indutivo e muito menos recorrer a padrões abdutivos. O enunciado justamente espera que usemos a lógica para verificar que, se as premissas (as duas frases consideradas como válidas) forem verdadeiras, devemos aceitar que a conclusão que se segue delas também será. De novo, a importância do admita como um suponha que tal e tal. Não esquecer também do tratamento que é feito dos Valores de Verdade para as sentenças no esquema da lógica (ou seja, CPC, CQC, etc).

É interessante perceber como extrairmos a conclusão acerca do motivo de se utilizar a lógica dedutiva a partir das informações da questão. Duas frases são suficientes para todo este texto que escrevo.

Eu espero assim responder a objeção 2, onde se poderia suscitar uma problemática de cunho sobre a verdade das sentenças.

O que nos interessa é que, se há uma afirmação da validade das sentenças o que devemos inferir como conclusão? Não está em questão qual o método para se avaliar cada uma das sentenças e a conclusão. A análise é do argumento conforme o aparato da lógica que é específico.

Evidentemente essa avaliação recai sobre as sentenças, mas não para estabelecer por quais motivos são verdadeiras. Mas, como usar o aparato lógico para compreender a validade do conjunto a partir da validade de suas partes.

E sabemos também que na determinação da verdade de de sentenças há uma bivalência que também envolve uma função de verdade no sentido técnico. Para maiores informações, vide Introdução à lógica de César Mortari.

Também é necessário observar que, por meio da paráfrase e tradução do argumento para uma linguagem de primeira ordem é possível avaliar a inferência sem recorrer a semântica das sentenças formalizadas. Uma análise sintática da validade do argumento. Para maiores informações veja novamente o livro de Haack nas páginas 40 e 41.

II) O problema de utilizar o verbo mentir

Estabelecido que a resolução se faz por meio da avaliação do argumento (das partes para o todo) cabe então nos perguntar se não há problemas no uso do verbo mentir.

Mentir não é simplesmente afirmar uma sentença que é falsa. A crença de quem mente é de suma importância, pois eu posso acreditar que o Brasil foi descoberto pelos portugueses em 1600 (quantos problema há nessa crença, não é mesmo?) e então mentir ao afirmar que o Brasil foi descoberto pelos portugueses em 1500 (muitos problemas ainda persistem nesta afirmação). 

Estas considerações são de suma importância ao pensar nas crenças que os seres humanos possuem e declaram. Mas e quanto ao boneco Pinóquio? Ele é uma idealização e também uma ficção. Sua história é muito mais simples do que as elucubrações epistêmicas acerca das crenças. 

Novamente tenho que recorrer a um exemplo da minha esposa Lívia: se o matemático diz que há um problema matemático do tipo: suponha que tenho 4 laranjas e entrego duas a Andréia, quantas laranjas ainda tenho? Perguntar quem é Andréia ou se estou comprometido com qual tipo de laranja é um exagero desnecessário para o contexto de resolução da questão. Mas totalmente coerente se for no âmbito, por exemplo, de uma investigação filosófica acerca de compromissos ontológicos.

Talvez um pouco do naturalismo apresentado por C.S.I Jenkins em seu texto Epistemological Naturalism (no livro The Blackwell Companion to Naturalism) seja uma leitura interessante para tais epistemologos. 

Podemos sugerir uma discussão filosófica inspirada pelo uso do verbo mentir nesta questão. Ou do tipo de laranja ou, talvez, quem seja Andréia. Mas não podemos fazer desta inspiração uma objeção a possibilidade de compreensão do contexto da questão de modo que as partes permitam a avaliação do conjunto (argumento) conforme o arcabouço da lógica.

O Pinóquio mente acerca do que ele fala, mas como as crenças são formatas em sua mente é uma suposição exagerada. O que devemos é supor se podemos usar o verbo mentir numa avaliação de argumentos dedutivos. E a resposta é sim.

O que Pinóquio fala é uma negação do que seria o correto (não confundir com corretude) ou seja, tem aplica-se uma negação a sentença. Desta maneira ¬P (não p) pode ser válida para o argumento sem que eu tenha que discutir o conceito de verdade ou falsidade. E no interior da lógica clássica a negação fará o papel da mentira, invertendo o valor de verdade.

III) Se alguém mente acerca da existência de seu chapéu, isso deveria também significar que ele mente se de fato há algum chapéu.

Aqui temos que ser cuidadosos e não tentar inserir uma possibilidade que deturpa as informações que analisamos até o momento.

Há de início uma diferença em escrever “Todos são chapéus Azuis” e “Todos os chapéus são azuis”. O segundo caso significa que dizer que, recorrendo ao aparato do CQC e a paráfrase, para qualquer x, vale o seguinte: se ele for chapéu, então é azul. Mas um certo x pode, claro, não ser chapéu e ter outra cor. Veja novamente o livro Introdução à lógica de Cézar Mortari, capítulos 8 e 9.

Como o autor da questão quer uma análise do argumento e as conclusões trazem algum tipo de compromisso com a existência dos chapéus, a sentença que logicamente representa que Pinóquio mente sobre ter chapéus (obedecendo a negação de P) seria:

Eu tenho um chapéu verde. Ou ainda, Eu tenho um chapéu (o que evita que ele tenha qualquer chapéu de qualquer cor). O verbo haver indica o compromisso com a existência.

Devemos portanto de agora em diante supor que a análise lógica tem preferência há qualquer outra análise para a resolução do exercício.

IV) Ao formalizar a sentença TODO, teremos uma situação que pode indicar uma quantificação verdadeira sobre o que não existe, pois se trata de uma condicional com o antecedente falso.

Como estamos avaliando as sentenças e em seguida a conclusão por meio da lógica, a sentença “Todos os meus chapéus são verdes” deve ser parafraseada como se algo x é um chapéu então ele (o chapéu) é verde, ou seja, uma condicional onde se x é um chapéu então x é verde.

Primeira observação é que apresentar a fbf no CQC exige antes um tratamento de paráfrase e é importante recorrer para maiores exemplos sobre as implicações deste procedimento no ensaio On Denoting de Bertrand Russell, e On What there is de Quine. Mas antes, uma passada pelo Introdução a lógica de César Mortari prepara bem o caminho.

O que se concluir disso, é que o procedimento é uma tradução onde há um tratamento específico para a semântica da sentença “Todos os meus chapéus são verdes” principalmente quando passamos a uma estrutura formal que visa um domínio e uma interpretação (ou seja, uma estrutura). Abandonamos a linguagem informal e seus problemas diversos para encontrar um local mais estável na sintaxe e semântica da linguagem da lógica de primeira ordem.

Todo x, tal que se x é chapéu então x é verde nos diz que se todos os objetos do domínio que podem substituir x de modo que ela seja verdadeira para “x é chapéu” somente tornar toda a sentença “x é chapéu então x é verde” se este objeto do domínio além de chapéu for também verde. 

Se não existir um chapéu eu não tenho a condição específica para garantir a verdade caso o antecedente exista e não seja verde ou exista e seja verde. Este é um aspecto da interpretação e não somente da forma lógica da sentença. E no âmbito da lógica e do CQC, deve ser considerado com rigor.

Supor a falsidade do antecedente e a falsidade do consequente é ignorar que estamos realizando uma tradução para garantir uma interpretação do “também”. Ou seja, essa suposição onde o antecedente for falso não é o caso para que o conjunto das sentenças garanta a validade do argumento. Não é válido para a sentença quantificada com o todo no conjunto das sentenças que formam o argumento e no possível domínio da variação das variáveis.

A mentira acerca de ter ou não chapéu, supondo a ficção de Pinóquio e a necessidade de usar a avaliação lógica do argumento, requer o uso do verbo haver ou existe como expliquei anteriormente. O que não ocorre nas sentenças apresentadas.

O TODO “apenas” nos obriga, no âmbito do CQC, a avaliar todos os objetos do domínio que podem substituir x. 

Eis que estamos prontos para então questionar se o CQC não seria problemático ou limitado. Talvez, toda a lógica clássica seja problemática.

V) Os problemas da abordagem do quantificador existencial no CQC, e portanto numa Linguagem Lógica de Primeira ordem, para questões ontológicas

Aqui, finalmente, eu chego na objeção 1. Espero que quem está lendo tenha percebido que também é uma objeção ao uso exclusivo da lógica clássica para avaliação do argumento (objeção 6).

De fato há uma divergência entre interpretar o quantificador existencial (este surge da negação de “Todo meu chapéu é verde” e que se torna “Existe um chapéu meu que não é verde”).

Há a interpretação objetual que apela para os valores das variáveis, isto é, os objetos sobre os quais as variáveis variam. No caso da questão, o domínio onde pode ou não existir o x que é chapéu e seja verde. 

Há também a interpretação substitucional que não apela para os valores, mas para os substituendos das variáveis, isto é, as expressões pelas quais as variáveis podem ser substituídas. 

O primeiro caso abre espaço para discutir questões ontológicas, como o já citado compromisso ontológico de Quine (vide mais uma vez On What there is de Quine).

Aqui uma retorno a obra de Haack, na página 75 e cito “(…) a interpretação objetual é geralmente considerada padrão; a interpretação substitucional, como um desafiante cujas credenciais necessitam investigação.” 

Haack destaca que não podemos dizer que tanto faz qual escolher, pois as consequências filosóficas são enormes. Especialmente se nossa avaliação e resolução carregar aspectos ontológicos. Como de fato é o que ocorre nas possíveis conclusões.

Abrir mão da interpretação padrão nos custaria muito: nenhuma conclusão poderia surgir dentre as que são apresentadas. O que também nos indica que o contexto do argumento requer a interpretação objetual.

Aqui ocorre de novo o problema que analisei anteriormente: existir uma polêmica ou um aspecto técnico divergente do padrão não impede que a avaliação da validade do argumento proceda com o aparato lógico de lógica clássica.

O mesmo raciocínio pode ser feito quando se diz que a minha resolução é uma das possíveis. Mas não é uma das possíveis utilizando o arcabouço da lógica clássica, mas uma das possíveis de acordo com o sistema lógico.

De fato podemos tratar a inferência lógica por trás da validade do argumento considerando o pluralismo lógico. O problema é que o pluralismo lógico significa, como afirma por exemplo Haack (página 207-208), algum tipo de extensão ou restrição da lógica clássica.

Também significa sustentar uma análise e paráfrase do discurso informal que teria que sofrer pesadas adaptações para, por exemplo, se adequar ao formalismo do CQC. Isso significa que só faz sentido se debruçar sobre o pluralismo lógico se a análise da validade lógica do argumento fosse de alguma maneira incompleta.

Poderia cair em contradição, poderia exigir um tratamento que desconsidere o tempo ou aspectos de necessidade ou ainda, como a prova da validade da conclusão é alcançada a partir das premissas.

Mas a lógica clássica fornece um tratamento que não é imperfeito. E como demonstrei anteriormente, há exatamente tudo o que precisamos no enunciado para sua resolução de acordo com o aparato do CQC e da lógica clássica.

Qualquer sugestão do contrário é desconsiderar um apelo à simplicidade. Dito de outra maneira, justificar o chifre do cavalo como um existente não realizado, ou coisa parecida. Talvez, se me permitem a ousadia, esconder a navalha de Occam do barbeiro contratado para aparar o pé do cabelo ou a barba de quem estuda a filosofia. 

Há indícios bastante fortes de que a lógica clássica é a única escolha para a questão. O que não impede, como já escrevi antes, que questões filosóficas diversas aflorem. Tais reflexões filosóficas não perturbam a resolução do exercício.

VI) Proposta de resolução do exercício

A imagem deste post apareceu em mais de uma rede social das quais eu utilizo. E chamou a minha atenção para uma suposta polêmica que não deveria existir entre os que possuem algum treinamento mínimo em lógica (ou lógica matemática).

Eu estudo lógica e filosofia da matemática, portanto, sinto que tenho que tentar achar uma solução. Como professor, tenho o dever de tornar isso público e acessível aos que estejam interessados.

De início, independente de conhecer ou não os fundamentos da lógica clássica, somos obrigados a interpretar o texto que compõe a questão. Os elementos técnicos que surgem são: válidas, sentenças e concluir. 

Para não me delongar muito, sentenças são neste contexto proposições que podem ser verdadeiras ou falsas, e, uma vez que sejam verdadeiras a conclusão que delas se segue também é. Trata-se portando de um argumento válido, e as frases são suas premissas.

(1) <<Pinóquio sempre mente>> significa que as proposições que ele fala são sempre falsas. Se ele diz algo como P (imagine P como uma proposição qualquer), o que ele verdadeiramente está dizendo é a negação de P. Pinóquio diz: hoje é terça-feira, então o que ele diz de verdadeiro é que hoje não é terça-feira. Preste atenção, se hoje não é terça-feira, então pode ser domingo, segunda-feira, quarta-feira, etc. 

(2) <<Pinóquio diz: “Todos os meus chapéus são verdes”>> significa que é verdadeiro que Pinóquio pronunciou ”Todos os meus chapéus são verde.” Por causa do que foi explicado em (1), devemos negar “Todos os meus chapéus são verdes” para saber o que Pinóquio disse de verdadeiro.

(3) Nosso raciocínio neste instante precisa recorrer a lógica. Não a lógica que cada um pode achar que é correta para resolver um problema deste tipo. Mas uma que esteja em um terreno mais formal e objetivo como ocorre com boa parte da matemática. Duas possíveis respostas:

(3.1) Se Pinóquio disse que “Todos os meus chapéus são verdes” (isto é, 100% dos meus chapéus são verdes) então ele tem ao menos um chapéu que não é verde. Um contra exemplo suficiente para negar a afirmação.

(3.2) Em lógica, a negação do universal Todos será um Existencial. Portanto, a negação de ”Todos os meus chapéus são verdes” equivale a “Existe algum chapéu meu que não é verde”. Neste caso, o <existe> compromete Pinóquio com ao menos um chapéu e que este não é verde. Pode ser, portanto, azul, marrom, amarelo, etc. A única certeza é que ele não é verde e que é ao menos UM.

(4) Passo final, qual resposta podemos marcar dentre as opções apresentadas. Ou seja, qual não contradiz ou extrapola o que analisamos em (1), (2), (3), (3.1) e (3.2)? Sim. Independente se você gosta ou não do esforço para organizar o pensamento resolutivo, ele é necessário nesta situação e em inúmeras outras, teóricas e práticas. 

A letra (E) extrapola o que sabemos, ou seja, que ao menos UM não é verde.

A letra (D) extrapola o que sabemos, ou seja que ao menos UM não é verde. Se existe um outro que seja não temos certeza. O compromisso é com a certeza de que UM não é verde. 

A letra (C) extrapola o compromisso com a existência de ao menos UM chapéu.

A letra (B) nos conduz por um caminho semelhante ao da letra (D), e novamente a nossa certeza é do compromisso com a existência de ao menos um chapéu que não seja verde.

A letra (A) indica que estamos compromissados com a existência de ao menos UM chapéu, o que é verdadeiro. Além disso, ele não é verde. 

Um excelente exercício para que possamos tentar assegurar que sabemos realmente justificar o nosso pensamento. O que também significa o nosso compromisso com algum método de justificação que não seja o mero achismo ou, como ocorre com muita fake News, o simples desejo de que seja verdadeiro independente de como posso justificar. 

As consequências são ainda mais evidentes: como eu estou preparado para julgar as informações que recebo? E, se alguém discordar de minha resolução, tem aqui um post para ser devidamente questionado. Ou seja, a minha resolução pode ser questionada objetivamente sem que isso signifique que a minha pessoa física esteja sofrendo alguma injúria. 

Eis uma das consequências de se estudar lógica e, portanto, filosofia.

VII) Referências

Mortari, César. Introdução à Lógica. Nova edição revisada e ampliada. Editora Unesp.

Russell, B. Da denotação. Abril Cultural, 1980. (Os Pensadores)

Haack, S. Filosofia das lógicas. Editora Unesp, 2002.

Quine, W. O. Sobre o que há. Abril Cultural, 1980. (Os Pensadores)

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