Nota do editor do blog: o texto a seguir é uma tradução e adaptação do texto originalmente publicado por Landon D. C. Elkind. O texto, por sua vez, aborda aspectos técnicos e curiosos da lógica, disciplina que acaba sendo muito exigente para os alunos da graduação em filosofia, e que pode ser melhor aproveitada quando estudada dentro dos seus elementos históricos. Neste texto é feito um questionamento acerca dos primórdios da lógica matemática, quando a notação simbólica ainda estava sendo estabelecida. Ainda hoje, é possível encontrar notações diferentes, o que nos permite recuperar um rico histórico do desenvolvimento da mesma. Aproveite portando, esse passeio historico destacando o papel de Bertrand Russell.


Houve um tópico interessante no Twitter lançado pela observação de Richard Zach:

Tradução: Qual é o primeiro uso de ∨ para disjunção? Eu estou supondo Russell, mas a. por que não um dos símbolos já em uso e b.por que especificamente ∨? Ele comenta em algum lugar?

Aqui também temos uma curiosa sub-pergunta: quando Russell mudou o uso de “⊃” como [símbolo] primitivo (como ele faz em 1901 – veja Collected Papers Vol. 3, capítulo 11, página 381) para colocar no lugar “∨” e “∼” como primitivos (como ele faz em Principia)?

A história curta é que o primeiro uso de “∨” para disjunção data do início de 1903 no manuscrito de Russell “Classes” (veja a figura abaixo) e a mudança para o uso de “∨” e “∼” como primitivo em vez de “⊃” ocorreu em torno de 21 de agosto de 1906. A história mais longa, a maior parte das introduções de Gregory Moore em The Collected Papers of Bertrand Russell, volume 3, é recontada abaixo.


As obras de Russell de 1901 já são profundamente influenciadas por Peano, particularmente em sua escolha de simbolismo. No entanto, mesmo lá, Russell mostra algumas opções independentes de notação. Por exemplo, em “The Logic of Relations“, Russell já introduziu o uso do ponto “.” para conjunção. Isso é um acréscimo ao uso compartilhado dele e de Peano do mesmo símbolo como um marcador de escopo. Mas, como Dirk Schlimm apontou para Richard Zach, Peano não usa “.” para conjunção. Ainda assim, em 1901 e 1902, Russell está trabalhando (ou seja, trabalhando numa solução) do ponto de vista de tratar certos símbolos lógicos como tendo um uso duplo, ou seja, para simbolizar as relações entre classes e entre proposições.

Esse uso duplo foi possível, em parte, pela lógica das proposições de Russell nessa época: nessa teoria, as proposições mantêm relações de implicação, disjunção, conjunção etc., assim como as classes permaneceriam nas relações de subconjunto e associação. Essa concepção da lógica proposicional é muito diferente da moderna, na qual símbolos como “∧”, “∨” e “¬” conectam fórmulas bem formadas para formar uma nova fórmula. Na verdade, na visão de Russell (e provavelmente também na de Peano), esses símbolos conectam proposições como termos para produzir uma fórmula.

Como observa Gregory Moore (ibid., Capítulo 15, página 439), em sua primavera de 1902, “On Likeness” (que não foi publicada até Collected Papers Vol. 3), Russell se afasta ainda mais da notação de Peano. Russell agora distingue entre “⊃” para as relações de implicação proposicional e inclusão de relações e “⊂” para inclusão de classe. Da mesma forma, ele introduz “∼” para negação proposicional, em vez de usar “-” para este objetivo e para o complemento de uma classe.

Aqui, no entanto, seu uso de “∧” e “∨” é o inverso de nosso uso moderno: Russell introduz a nova notação “∧” e “∨” para interseção de classes e união de classes, enquanto ele usa a antiga notação “∩” para conjunção proposicional e interseção de relações, e ele usa “∪” para disjunção proposicional e união relacional. Este uso de “∧” e “∨” pode ser visto em * 1 · 1 logo abaixo, e esse uso de “∪” pode ser visto em * 2 · 1 logo abaixo.

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Como Moore diz, esse uso é revertido nas “Classes” de Russell, no início de 1903 (Collected Papers Vol. 4, Capítulo 1a), de modo que “∨” agora simboliza disjunção e “∪” simboliza união de classes. Isso persiste desde Principles até o Principia e parece ser a origem do nosso uso moderno.

cpbrvol4generaltheoryofclassespage9

Tudo isso é uma influência pós-Peano com as modificações consideradas de Russell. Há uma segunda onda profunda de influência Pós-Frege sobre Russell no início de 1903. Uma cronologia mais profunda é dada por Moore em Collected Papers Vol. 3, Introdução, §V (essa é a seção cinco e não a seção ou!).

Finalmente, como Moore observa novamente (Collected Papers Vol. 5, Introdução, §VII), em 1905, Russell mudou ao considerar “∼” como primitivo quando chegou à conclusão, por razões filosóficas, que a negação não podia ser definida. Em 1906, Russell tomou “∨” como primitivo porque “duas proposições primitivas são tornadas supérfluas”, como ele diz em uma carta de 21 de agosto de 1906 a Louis Couturat (ibid., Página xlv).


Como observação lateral, no artigo de 1902, Russell também introduz “≡” para equivalência proposicional (anteriormente usada para identidade de indivíduos), em vez de usar “=” para equivalência proposicional e identidade de classe. Contra o pano de fundo da lógica proposicional de Russell, na qual proposições podem ser termos de relações, pode haver uma curiosa antecipação da igualdade proposicional nas teorias de tipos modernas que tratam proposições como tipos.


Como outra observação lateral, parece que Peano nunca mudou sua notação em resposta às inovações de Russell. Curiosamente, uma análise superficial da revisão de Peano de 1913 sobre Principia no Formulario é basicamente apenas Peano mostrando como os teoremas do Principia poderiam ser simbolizados em sua notação preferida. Isso pode ser visto como uma recusa em “acompanhar os tempos” da notação modernizada que evita o uso duplo de símbolos. Mas a preocupação de Peano era mais com a abreviação e a comunicação clara do conhecimento matemático.

Frege criticou zombeteiramente as escolhas de notação de Peano por tornar “a conveniência do tipógrafo” o “summum bonum” em seu artigo de 1897 “On Mr. Peano’s Conceptual Notation and My Own“. No entanto, em defesa de Peano, vemos agora uma preocupação renovada com apresentações convenientemente nítidas de matemática adequadamente abreviada nas modernas proof-assistant libraries (bibliotecas assistentes de provas). Além disso, o contexto nos trabalhos de Peano deveria esclarecer qual era o uso duplo (ou então lê-lo em um dos usos não era ilícito e permitia uma apresentação mais breve dos resultados), da mesma forma que um contexto de digitação moderno pode esclarecer ambiguidades sintáticas. “

Não digo isso para defender os usos duplos da notação, mas apenas para indicar que os valores e objetivos de Peano, aqueles que guiaram suas escolhas de notação, são profundamente relevantes para nós hoje, assim como evitar e ambiguidades sintáticas foi e ainda é.

LINK ORIGINAL DO TEXTO: https://landondcelkind.com/2020/05/24/tracing-the-symbol-for-disjunction/

 

 

 

 

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