Atenção: Entrevista realizada por Richard Marshall, em inglês, traduzida e adaptada por Júlio Cesar da Silva, editor do blog Esclarecimento Filosófico. O link do texto original se encontra no final da entrevista.

Os matemáticos estão entre as criaturas filosóficas mais inatas do planeta. A matemática é uma atividade estranha: envolve falar sobre as coisas de uma maneira engraçada, se divertir com a abstração e encontrar um significado profundo em enunciados que parecem bobagens para os demais.

A lógica ainda é a ovelha negra da comunidade matemática. O que eu amo acerca da lógica é que ela toca filosofia, matemática, ciência da computação, linguística, ciência cognitiva e outras disciplinas. Isso faz parte do que a torna tão interessante. Mas isso também significa que a lógica é facilmente órfã. Os filósofos pensam que ela se parece muito com a matemática, e os matemáticos pensam que ela se parece muito com a ciência da computação.

“A única maneira que conheço de abordar a metafísica e a epistemologia matemática é começar com o método matemático. A matemática foi projetada para nos permitir raciocinar com eficiência e eficácia, e isso tem uma forte influência nos tipos de objetos sobre os quais falamos e na maneira como falamos sobre eles. Não vejo como entender a natureza dos objetos matemáticos sem entender seu papel no pensamento matemático.”

David Hilbert é um dos matemáticos mais influentes de todos os tempos. Ele fez contribuições seminais em toda a matemática, para álgebra, teoria dos números, análise, física matemática, análise combinatória e muito mais. Ele desenvolveu um interesse na lógica e nos fundamentos da matemática por volta da virada do século XX. Por essa época, descobriu-se que usos ingênuos do raciocínio acerca da teoria de conjunto e do infinito geram contradições. ‘

“Aqueles de nós que trabalham em lógica estão assistindo com trepidação os recentes desenvolvimentos no aprendizado profundo. A IA há muito tempo se divide entre métodos simbólicos baseados em lógica, por um lado, e técnicas estatísticas aproximadas, por outro. O fato de as redes neurais terem tido sucesso tão impressionante com jogos como o go e o xadrez nos deixa imaginando se eles substituirão inteiramente os métodos simbólicos. “

Jeremy Avigad é professor do Departamento de Filosofia e do Departamento de Ciências Matemáticas e associado ao programa interdisciplinar de Carnegie Mellon em Lógica pura e aplicada. Ele está interessado em lógica matemática e teoria de provas, verificação formal e raciocínio automatizado e na história e filosofia da matemática. Aqui ele discute a relação entre filosofia e matemática, filosofia da matemática e filosofia analítica, inovação matemática do início do século XX, Hilbert e Henri Poincare, lógica matemática, a distinção entre sintaxe e semântica, sobre não ser dogmático sobre fundamentos, mudanças na matemática, o papel dos computadores na investigação matemática, a modularidade da matemática, seja ela descoberta ou projetada, por que David Hilbert é importante e verificação formal, raciocínio automatizado e IA.

3:16: O que fez você se tornar um filósofo?

Jeremy Avigad: Minha pós-graduação é em matemática, especificamente em lógica, mas tenho pensado em matemática há quase tanto tempo quanto. Foi o Carnegie Mellon que transformou a filosofia em uma profissão para mim. Sou eternamente grato ao meu departamento por reconhecer que o trabalho fundamental para o qual fui treinado é filosoficamente importante e por me dar espaço para usar esse pano de fundo para explorar a história e a filosofia da matemática.

3:16: Você está interessado na filosofia da matemática . As preocupações filosóficas são levantadas no dia de trabalho dos matemáticos ou a filosofia é algo como a ornitologia para os pássaros – seria útil se eles acessassem – mas não o fazem?

JA: Os matemáticos estão entre as criaturas filosóficas mais inatas do planeta. A matemática é uma atividade estranha: envolve falar sobre as coisas de maneira engraçada, se divertir com a abstração e encontrar um significado profundo em enunciados que soam sem sentido para todos os outros. O que os matemáticos fazem no dia-a-dia é guiado por julgamentos sobre o que significa fazer matemática e o que significa fazê-lo bem: que tipos de perguntas são naturais, que tipos de problemas são interessantes, que tipos de soluções são. apropriado e assim por diante. Os matemáticos falam sobre essas coisas o tempo todo, talvez não com os tipos de rigor e precisão que gostaríamos de ver como filósofos, mas essas visões são centrais para o que elas fazem.

A filosofia, quando bem feita, pode nos ajudar a pensar melhor sobre o que estamos fazendo. A filosofia da matemática, em particular, pode nos ajudar a articular os objetivos da matemática e entender seus métodos, e entender como os métodos são adequados para os objetivos. Os filósofos são bons em desenvolver maneiras rigorosas de falar sobre coisas como essas, mas precisamos ter em mente que, quando fazemos filosofia da matemática, estamos falando sobre matemática e não sobre algum jogo vazio de contas. Filósofos e matemáticos trazem habilidades diferentes para a mesa, mas estamos pensando na mesma coisa e podemos ajudar um ao outro.

3:16: A filosofia da matemática é muito importante para a filosofia analítica, não é – tanto como um assunto de investigação quanto como um marco no cenário filosófico mais amplo – você pode nos dar uma visão geral dessa importância como a vê?

JA: A meu ver, o que torna a matemática especial é a clareza e precisão de sua linguagem e métodos de inferência. O mais importante são as regras de comunicação: como devo fazer uma reclamação, como você pode contestá-la, como tenho permissão para responder e assim por diante. A bagunça do mundo empírico é mantida à distância, e a matemática fornece mecanismos que nos permitem chegar a um acordo sobre se temos um teorema. Talvez estejamos procurando um teorema que nos ajude a construir aviões ou prever o mercado de ações, mas mesmo que isso não funcione tão bem quanto esperávamos, um teorema ainda é um teorema e, portanto, um pedaço de matemática.

O foco estreito na comunicação e os meios de chegar a um acordo tornam mais fácil pensar em matemática do que outros aspectos de nossas vidas diárias. A linguagem comum é complicada e confusa, mas a linguagem matemática é regimentada e organizada. Os conceitos que surgem no discurso comum são indisciplinados, mas os conceitos matemáticos são cuidadosamente controlados. É impossível entender todos os mecanismos cognitivos que usamos para sobreviver em nossa vida cotidiana, mas o raciocínio matemático é passível de estudo sistemático.

Isso não quer dizer que a linguagem natural e outras formas de raciocínio não sejam importantes. Mas a matemática é um bom lugar para montar um acampamento base, e podemos ir além se explorarmos a partir daí.

3:16: O início do século XX parece ter sido um tempo de fundamentos e inovação matemática. Você diz que essas inovações foram uma reação aos métodos teóricos e não construtivos estabelecidos que se tornaram predominantes. Então, primeiro, você pode esboçar para nós o que essas duas coisas alegavam – por que elas eram vistas como a melhor maneira de abordar a matemática na época?

JA: Durante a maior parte de sua história, a matemática foi sobre algoritmos e cálculo. Elementos de Euclides era sobre construção geométrica. Álgebra era sobre resolver equações. A probabilidade era prever probabilidades em jogos de azar e fazer previsões estatísticas. O cálculo era sobre explicar o movimento dos planetas e fazer previsões sobre os sistemas mudando ao longo do tempo.

No século XIX, à medida que os matemáticos avançavam nos limites de assuntos como esses, os detalhes técnicos se tornavam difíceis de manejar. À medida que a comunidade lidava com a crescente complexidade, alguns começaram a insistir que o objetivo da matemática não era realizar cálculos per se , mas sim obter um entendimento conceitual adequado, permitindo-nos raciocinar sobre objetos matemáticos de uma maneira que pudesse subscrever a computação, mas não está vinculado a ela. Nessa perspectiva, o cálculo era visto como uma manifestação superficial de um corpo de conhecimento muito mais profundo.

Essa abordagem conceitual foi realizada de várias maneiras, incluindo abstração algébrica, redução fundamental, o uso da linguagem informal da teoria dos conjuntos e o uso de meios mais liberais de descrever objetos e estruturas matemáticas infinitas. Mas grande parte disso também envolveu a supressão de detalhes de cálculo e a adoção de métodos que estão em desacordo com um entendimento computacional estrito.

3:16: Então, por que inovadores como Hilbert e Henri Poincaré desafiaram essas idéias? O que eles colocaram em seu lugar?

JA: Muitas das inovações da Poincaré podem ser entendidas nesses termos. Por exemplo, no século XIX, era bem sabido que sistemas de equações diferenciais podiam ser usados ​​para modelar uma ampla gama de fenômenos físicos, mas muitas vezes é impossível realizar cálculos precisos e fazer previsões confiáveis ​​com base nessa descrição. Poincaré mostrou que, mesmo em casos como esse, muitas vezes é possível obter informações qualitativas úteis sobre um sistema, por exemplo, abstraindo suas propriedades geométricas ou topológicas.

David Hilbert era um mestre das novas técnicas. Um de seus primeiros sucessos foi resolver uma questão antiga na teoria dos invariantes algébricos, mostrando que certos tipos de expressões algébricas existem sem mostrar como calculá-las. Ao longo de sua carreira, Hilbert foi um grande defensor dos novos métodos, como evidenciado por sua famosa proclamação de que ninguém nos afastará do paraíso da teoria dos conjuntos que Georg Cantor havia criado. Ao mesmo tempo, ele era sensível às preocupações de que os novos métodos se afastassem do raciocínio explícito sobre objetos finitos, que ele via como representando o conteúdo concreto da matemática. Seu trabalho fundamental foi dedicado a explicar como o raciocínio infinito sobre objetos abstratos e ideais pode ser entendido como tendo conteúdo concreto.

3:16: Outra grande inovação que aconteceu no final do século XIX e no início do século XX foi a lógica matemática. Você pode dizer algo sobre isso e por que não foi fácil se encaixar em uma taxonomia geralmente aceita da matemática na época que classificava a matemática como geometria ou aritmética?

JA: Foi durante esse período que a lógica se tornou um ramo da matemática. Desde os tempos antigos, a matemática era caracterizada como a ciência da magnitude, que se bifurca no estudo de magnitudes contínuas, a saber, geometria e magnitudes discretas, ou seja, aritmética. Em meados do século XIX, George Boole defendeu uma nova caracterização da matemática para encontrar um lugar para a lógica. Ele propôs que pensássemos na matemática como a ciência do cálculo simbólico, observando que podemos calcular com proposições, assim como podemos calcular com números. A algebraização da lógica nas mãos de Boole e De Morgan, e mais tarde por outros como Peirce e Schröder, contribuíram muito para tornar a lógica mais matemática.

3:16: Então, atualmente, a lógica se tornou uma disciplina matemática madura e isso é devido a uma distinção entre sintaxe e semântica desenvolvida dentro da comunidade lógica, em vez de quaisquer alterações na comunidade matemática?

JA: Não acho que a distinção entre sintaxe e semântica seja a razão pela qual a lógica se tornou parte da matemática, mas, antes, um dos resultados dessa transformação. No início do século XX, os matemáticos desenvolveram maneiras rigorosas de raciocinar sobre expressões simbólicas e suas interpretações semânticas, e ambas desempenharam um papel importante no desenvolvimento da teoria.

Dito isto, a lógica ainda é a ovelha negra da comunidade matemática. O que eu amo sobre lógica é que ela toca filosofia, matemática, ciência da computação, linguística, ciência cognitiva e outras disciplinas. Isso faz parte do que a torna tão interessante. Mas isso também significa que a lógica é facilmente órfã. Os filósofos pensam que isso se parece muito com a matemática, e os matemáticos pensam que se parece muito com a ciência da computação. A ciência da computação é um lar natural, uma vez que expressões simbólicas e sua interpretação são fundamentais para esse assunto. Mas limitar a lógica à ciência da computação impõe restrições aos tipos de pesquisa que podem ser feitas, e seria uma pena se perdêssemos de vista sua relevância filosófica e matemática.

3:16: Por que e como a semântica é importante para a comunicação e o compartilhamento de conhecimentos matemáticos e por que a teoria dos conjuntos de Zermelo Fraenkel é importante a esse respeito?

JA: Eu fui treinado como um teórico da prova na tradição Hilbert, por isso tenho tendência a favorecer a sintaxe sobre a semântica. Em outras palavras, concentro-me nas expressões simbólicas e em suas regras de uso e me preocupo menos com a referência e o significado. Então, eu pessoalmente penso na teoria dos conjuntos como uma coleção comum de normas lingüísticas, um livro de regras e um guia de estilo para comunicar idéias e argumentos matemáticos. Ter essas articulações clarificadas foi especialmente útil no início do século XX, porque forneceu maneiras de unificar diferentes ramos da matemática e dar sentido aos novos métodos de abstração.

Dito isto, não sou dogmático sobre fundações. A teoria dos conjuntos fornece uma descrição idealizada da atividade matemática, que foi informativa e útil. A lógica categórica fornece idéias e insights complementares, e as diferentes perspectivas são compatíveis. A matemática é o que é, e quanto mais maneiras tivermos de entendê-la, melhor.

3:16: A matemática deixou de ser construtiva para uma outra coisa depois do século XIX e isso significa que a matemática, como atualmente entendida, é muito diferente do que tem sido na maior parte de sua história? Isso está ligado à desclassificação da computação em matemática que se seguiu à descoberta de paradoxos decorrentes do uso excessivamente ingênuo da linguagem e dos métodos da teoria dos conjuntos?

JA: A matemática está sempre mudando. O que permaneceu constante ao longo da história é a ênfase na clareza e precisão, e sua capacidade de estabelecer um consenso comunitário quanto ao que é necessário para estabelecer uma reivindicação definitiva. Eu não gostaria de sugerir que a matemática em 1850 e a matemática em 1950 eram coisas completamente diferentes. Mas sim, existem diferenças fundamentais na linguagem e nos padrões de raciocínio que se vê em 1850 e 1950, e essas refletem diferenças interessantes na maneira como os matemáticos entendem o assunto e seus objetivos.

O que ficou claro no final do século XIX e início do século XX é que existe uma tensão entre, por um lado, o desejo de desenvolver abstrações poderosas que nos ajudam a resolver problemas mais difíceis e a ampliar nosso alcance cognitivo e, por outro lado, o desejo de relacionar essas abstrações com os problemas de medição e previsão que motivaram o sujeito em primeiro lugar. A tensão ainda está conosco hoje. Desenvolver teorias e abstrações poderosas é importante. O mesmo acontece com a matemática para construir aviões, gerenciar a economia e curar doenças. É fascinante ver como a disciplina consegue fazer as duas coisas ao mesmo tempo.

3:16: Qual é o papel dos computadores na investigação matemática – eles podem oferecer evidências de afirmações matemáticas e / ou entendimento matemático – e o que se entende por ‘entendimento matemático’ nesse contexto?

JA: Até este ponto, tenho falado sobre o uso da matemática para dar suporte à computação. Esta questão é diferente: como podemos usar computadores para apoiar o raciocínio matemático? Os cientistas da computação usam a frase “métodos formais” para se referir a métodos computacionais baseados em lógica que podem ser usados ​​para raciocinar sobre hardware e software complexos. Estou interessado em explorar como esses métodos também podem ser usados ​​em matemática.

Em um campo conhecido como prova interativa de teoremas, os computadores são usados ​​para verificar as provas matemáticas até primitivas axiomáticas, fornecendo fortes garantias de que os resultados estão corretos. No raciocínio automatizado, os computadores são usados ​​para descobrir novos resultados matemáticos. Essas aplicações estão em seus estágios iniciais, e os matemáticos têm o direito de ser céticos quanto à tecnologia ter muito a oferecer no momento. Mas os métodos têm um enorme potencial, e não tenho dúvidas de que, a longo prazo, eles transformarão fundamentalmente o que podemos fazer.

Resultados famosos, como o teorema das quatro cores e a prova de Thomas Hales da conjectura de Kepler, mostram que existem teoremas interessantes que podem ser reduzidos a cálculos que são muito longos para serem realizados manualmente. Isso pode ser desconcertante. Queremos que nossa matemática não apenas nos diga que um teorema é verdadeiro, mas também nos ajude a entender por que é verdadeiro, e talvez não sintamos que um cálculo longo forneça o tipo certo de entendimento. Mas a comunidade matemática começou a se reconciliar com o fato de que algumas vezes uma prova computacional é tudo o que temos o direito de esperar e tudo o que realmente precisamos. Nesse caso, o entendimento que obtivemos pode estar localizado no fato de termos aprendido como reduzir o problema a um cálculo e por que a redução funciona.

Os matemáticos são pragmáticos. Queremos saber as respostas. Os computadores alteram fundamentalmente os tipos de coisas que podemos descobrir e verificar e, se pudermos usá-los bem, iremos fazê-lo. Isso continuará desafiando a maneira como pensamos sobre matemática e compreensão matemática, e espero que a matemática pareça muito diferente daqui a um século, talvez tão diferente quanto a matemática de 1950 seria para o matemático de 1850. Enquanto isso, continuaremos a lidar com a nova tecnologia.

3:16: A matemática é modular e, se for, por que é epistemicamente útil pensar em matemática dessa maneira? Que alternativas esse modelo suplanta?

JA: A palavra “modular” é um termo de arte em várias disciplinas. Se você for à biblioteca e retirar um livro sobre engenharia de software, ele informará que é importante projetar o software de maneira modular. Ele lhe dirá que isso torna o software mais robusto, mais confiável, mais fácil de entender e mais fácil de adaptar e modificar, e também o porquê.

Argumentei que é útil pensar na literatura matemática – definições, teoremas e provas – nesses termos. Raciocinar efetivamente em matemática é em grande parte uma questão de gerenciamento de informações. Requer encontrar as abstrações que suprimem as coisas que não importam e vamos nos concentrar nas coisas que importam. Quando pensamos em matemática nesses termos, muitas coisas que vemos acontecendo lá começam a fazer mais sentido.

Os filósofos às vezes descartam a pragmática da atividade matemática cotidiana como metodologia, em oposição à metafísica ou epistemologia, que, a seu ver, é onde está toda a ação. Mas a única maneira que conheço de abordar a metafísica e a epistemologia matemática é começar com o método matemático. A matemática foi projetada para nos permitir raciocinar com eficiência e eficácia, e isso tem uma forte influência nos tipos de objetos sobre os quais falamos e na maneira como falamos sobre eles. Não vejo como entender a natureza dos objetos matemáticos sem entender seu papel no pensamento matemático.

3:16: A matemática é algo que foi projetado ou algo que foi descoberto? Acho que estou imaginando se você acha que a matemática se encaixa em um relato amplamente naturalista ou platônico da metafísica e da epistemologia?

JA: Se forçado a escolher, eu ficaria do lado do design, mas acho que a dicotomia é enganosa. Você também pode perguntar se rodas e alavancas foram inventadas ou descobertas. Suponho que é mais comum dizer que elas foram inventadas, mas você também pode dizer que descobrimos que as rodas são alavancas são úteis para mover coisas e que aprendemos como usá-las. De maneira semelhante, freqüentemente falamos sobre a invenção do transistor, mas o Prêmio Nobel de 1956 foi concedido pela descoberta do efeito do transistor.

Quando fazemos matemática, estamos participando de uma escolha comunitária para falar sobre triângulos isósceles e números primos, e sobre eles de determinadas maneiras. A história de como a comunidade alcançou consenso sobre como fazer isso é complexa, mas a matemática que temos hoje é o resultado de inúmeras decisões, grandes e pequenas, e, nesse sentido, acho melhor pensar em conceitos matemáticos como sendo projetados. Mas decidimos esses conceitos porque descobrimos que eles são úteis para nossos propósitos. Mais uma vez, a história de como são úteis e para que servem é complexa. Mas acho que é isso que a filosofia da matemática deve tentar entender.

Não acho que tenhamos que escolher entre uma conta naturalista ou platônica. Bill Tait resumiu bem em um de seus ensaios. A matemática foi projetada para nos ajudar a entender o mundo físico, e isso desempenha um papel importante na compreensão de por que a matemática é do jeito que é. Mas algo só se torna um pedaço de matemática quando fixamos as definições, suposições e regras de inferência, e então precisamos responder apenas a elas. Se um teorema ou cálculo está correto ou não, depende apenas se seguimos as regras corretamente. Se isso se aplica ou não a um ambiente físico específico é uma questão científica e julgada por outros meios.

3:16: Hilbert é o cara certo para você em relação à metamatemática? O que há de tão importante em Hilbert para o filósofo e, em particular, o filósofo da matemática? (Pode ser útil nos contar um pouco sobre ele, pois ele não estará familiarizado com muitos leitores fora da matemática!)

JA: David Hilbert é um dos matemáticos mais influentes de todos os tempos. Ele fez contribuições seminais em toda a matemática, para álgebra, teoria dos números, análise, física matemática, combinatória e muito mais. Ele desenvolveu um interesse na lógica e nos fundamentos da matemática por volta da virada do século XX. Por essa época, descobriu-se que usos ingênuos do raciocínio da teoria de conjuntos e do infinito geram contradições. No início dos anos 1920, Hilbert fez uma apresentação madura do que ficou conhecido como ‘ programa de Hilbert ‘, que foi projetado para colocar o uso de tais métodos em uma base estável. Ele propôs descrever os novos métodos com axiomas e regras claros e depois provar, usando métodos mínimos e incontroversos, que esses axiomas e regras estão livres de contradições. (O termo alemão para isso é widerspruchsfrei , agora traduzido para o inglês como consistente .)

Os teoremas da incompletude de Gödel, em 1931, mostram que o programa de Hilbert não pode ter sucesso como foi originalmente formulado: nenhuma teoria razoável da matemática pode provar sua consistência; portanto, é certamente impossível estabelecer a consistência de um corpo poderoso da matemática usando apenas uma pequena parte dele. Mas pode-se interpretar o programa de maneira mais ampla como tendo o objetivo de modelar partes do raciocínio matemático usando axiomas e regras, e tentar entender o que o sistema pode ou não fazer, especialmente com relação às partes computacionais concretas do assunto. Construído dessa maneira, o programa tem sido um sucesso.

Comecei minha carreira trabalhando firmemente nessa tradição e, desde então, ela governa o modo como penso em matemática. O que torna possível o programa de Hilbert é que a linguagem e as normas inferenciais da matemática admitam uma descrição precisa e, na minha opinião, esse deveria ser o ponto de partida para a filosofia da matemática. Isso não é para negar que uma boa teoria de objetos abstratos possa nos ajudar a entender o assunto, mas, finalmente, os dados que precisamos explicar são as definições, teoremas, conjecturas, perguntas e argumentos que vemos na literatura. Não importa o que dizemos sobre o que está acontecendo internamente, nossas teorias filosóficas precisam se encaixar nas manifestações externas.

Também admiro Hilbert, em um sentido mais amplo, por ser capaz de aplicar métodos matemáticos a problemas filosóficos em geral, de uma maneira realista e sem sentido. Ele era um pragmático. Ele é frequentemente descrito como proclamando que a matemática nada mais é do que um jogo de símbolos sem sentido, mas, é claro, ele tinha muito respeito pela matemática para que isso fosse uma caracterização precisa de seus pontos de vista. O ponto de sua retórica às vezes ardente era que, na medida em que podemos modelar a matemática em termos formais, a questão de saber se esses métodos são consistentes é uma questão matemática precisa, não uma vaga filosófica.

3:16: E para terminar em um erro, sua compreensão da verificação formal e do raciocínio automatizado sugere a você que é possível algum tipo de IA que se assemelhe ao pensamento humano e passe no teste de Turing?

JA: Verificação formal e raciocínio automatizado são campos maduros, mas os métodos ainda são surpreendentemente limitados quando se trata de raciocínio matemático. Com os provadores de teoremas interativos, é útil ter automação que possa justificar pequenas inferências, em vez de forçar os usuários a digitar todos os detalhes manualmente. Mas mesmo os tipos de etapas inferenciais diretas encontradas em um livro de graduação exigem atualmente mais informações e orientações do usuário do que gostaríamos. A automação é boa em executar tarefas grandes e homogêneas de raciocínio muito rapidamente, mas não tão boa em localizar e combinar fatos heterogêneos de uma biblioteca matemática subjacente.

Aqueles de nós que trabalham com lógica estão assistindo com trepidação os recentes desenvolvimentos no aprendizado profundo. A IA há muito tempo se divide entre métodos simbólicos baseados em lógica, por um lado, e técnicas estatísticas aproximadas, por outro. O fato de as redes neurais terem tido sucesso tão impressionante com jogos como o go e o xadrez nos deixa imaginando se eles substituirão inteiramente os métodos simbólicos. Mas até agora, as técnicas de aprendizado de máquina tiveram um sucesso ainda mais limitado no que diz respeito ao raciocínio matemático.

Estou confiante de que os computadores serão capazes de realizar os tipos de inferências matemáticas que fazemos hoje. O fato de podermos aprender e comunicar matemática significa que existem padrões compartilhados de regras e expectativas, e não vejo razão para pensar que eles não possam ser mecanizados. Mas ainda temos um longo caminho a percorrer. Não sei se serão necessárias melhores técnicas simbólicas ou estatísticas, e se o conhecimento matemático formal virá de bancos de dados cuidadosamente selecionados ou de um aprendizado de máquina livre na web. Temos muito a aprender e será realmente interessante ver aonde a tecnologia nos leva.

A propósito, este é outro lugar onde matemática, ciência da computação e filosofia podem se unir. Os matemáticos são bons em matemática, os cientistas da computação são bons em projetar algoritmos e os filósofos são bons em descobrir as normas, suposições e expectativas implícitas em uma prática. Poderíamos deixar a IA para os cientistas da computação, mas acho que faremos um progresso melhor com uma perspectiva mais variada. Mas isso exige superar as pressões acadêmicas que tendem a empurrar para a especialização e desencorajar a interação. Existe uma grande lacuna cultural que separa matemáticos de cientistas da computação, mas fico feliz em ver que eles ainda estão conversando e aprendendo uns com os outros quando se trata de raciocínio matemático. Estou mais preocupado com a filosofia da matemática. O campo ficou bem isolado e distante do assunto que deveria iluminar.

3:16: E finalmente, existem cinco livros que você poderia recomendar que nos levariam ainda mais ao seu mundo filosófico?

JA: Eu recomendo passar algum tempo com qualquer um dos trabalhos seminais da história da matemática e do pensamento matemático.

Leia Elementos de Euclides e pense sobre a estrutura de suas reivindicações e argumentos. Pense por que Euclides faz uso dos números inteiros iniciando com 2 e depois pense por que não fazemos o mesmo.

Passe algum tempo com o excelente livro fonte de Dirk Struik em matemática e veja como a álgebra firmemente inicial era baseada em uma base geométrica. Observe também como os primeiros álgebraistas relutam em somar quantidades heterogêneas, como áreas e comprimentos, e pense por que isso não nos incomoda em fazer isso hoje.

Leia a geometria de Descartes lado a lado com seus escritos filosóficos. Veja as maneiras que Newton e Leibniz conceberam o novo cálculo.

De Kant a Hilbert, de William Ewald : um livro-fonte nos fundamentos da matemática também é realmente maravilhoso. Veja Dedekind e Cantor introduzirem novas maneiras de falar sobre conjuntos e funções, e pensar sobre como e por que eles fizeram, pode nos ajudar a entender a maneira como falamos sobre conjuntos e funções hoje.

3:16: E onde você está em algumas posições filosóficas opostas?

JA: Para muitos que você mencionou, não tenho uma visão especial. Eu vou escolher minhas batalhas. Mas nesses quatro eu tenho uma visão:

a) Conhecimento a priori: sim ou não?

Sim.

b) Objetos abstratos: platonismo ou nominalismo?

Ambos.

c) Distinção analítico-sintética: sim ou não?

Sim.

d) Lógica: clássica ou não clássica?

Clássica

Texto original: https://316am.site123.me/articles/philosophy-maths-logic-and-computers?c=end-times-series

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